Vorwort
Die Techniken des Gleichunglösens sind für alle
Mathematikanwendungen, in Schule, Studium und Beruf fundamental.
Oftmals sind es aber gerade diese Techniken, die nicht, oder nur teilweise
erlernt werden – es fehlt zumeist der 'rote Faden'.
Daraus ergibt sich dann oft ein Scheitern an einfachsten Problemstellungen.
Diese Schriftenreihe richtet sich ebenso an Schülerinnen
und Schüler, wie an Studierende oder beruflich Interessierte und bietet
einen einfachen, aber dennoch tiefgehenden Zugang zu allen wichtigen Techniken
des Gleichunglösens.
Dieser zweite Band der Techniken des Gleichunglösens
bespricht ausführlich das Lösen linearer Gleichungssysteme.
Er ist für Schülerinnen und Schüler ab etwa 16 Jahren geeignet.
Unabhängig vom ersten Band, wird hier das Lösungsverfahren des
Gauss-Algorithmus vollständig dargestellt, so dass hier auch eine
Vorbereitung auf ein Studium oder die Anwendung dieser Schrift als Nachschlagewerk
im Studium ermöglicht wird.
Eine vollständige Darstellung aller Aufgabenstellungen
ist natürlich nicht möglich. Hier ist eine Beschränkung auf das
besonders häufig Benötigte erforderlich.
Es wird bewusst auf Beweisführung verzichtet.
Statt dessen wird ausführlich auf alle Lösungsprobleme eingegangen.
Ein Verzicht auf Fachbegriffe ist aber leider nicht möglich.
Dem Leser, der Leserin wird empfohlen, sich diese Begriffe so bald wie möglich
zu eigen zu machen.
Vorrangiges Ziel ist es, einen programmartigen Ablauf der
Vorgehensweisen so darzustellen, dass das hier besprochene Verfahren auch ohne
Vorkenntnisse anwendbar wird.
Besonderer Dank gebührt den Studenten der
Fachhochschule Bremerhaven, die mit ihren Fragen und Vorschlägen
an der Entstehung dieses Buches mitgewirkt haben!
Möge allen das nötige Handwerkszeug für ein
erfolgreiches Arbeiten gegeben sein.
Bremerhaven, im Oktober 2007
1 Hinweise zur Benutzung dieses Buches
1.1 Anwendungshinweise
Alle Kapitel dieses Buches bauen auf einander auf.
Deshalb ist es für jene, die dieses Buch als Lehrbuch anwenden wollen,
erforderlich, die Kapitel in der vorgegebenen Reihenfolge zu lesen.
Merksätze sind linksseitig markiert und sollten in
unveränderter Form gelernt werden!
Wer nur an einer rezeptmäßigen Lösung
interessiert ist, befolge bitte die Anweisungen der Kapitel 3 und
5 bis 8 genauestens.
Wer hingegen nur bei Bedarf etwas nachschlagen möchte,
findet zusätzlich zum Inhaltsverzeichnis einen
Index am Ende dieses Buches, so dass sich jede Fragestellung,
jede Methode und jedes Verfahren schnell auffinden lässt.
Es sei aber noch einmal darauf hingewiesen, dass alle Kapitel auf einander aufbauen.
Damit kann ein Verständnis eines Kapitels, nur in Kenntnis der vorigen Kapitel
erwartet werden.
Beispiele sind nach ihrer Art unterschiedlich dargestellt.
Vollständige Beispiele tragen eine Abschnittsnummerierung, die mit
einem B gekennzeichnet ist.
Teilbeispiele werden eingerückt
dargestellt.
Beispielaufgaben sollten nachgerechnet werden!
Die Übungsaufgaben der Anwendungen und des Kapitels 9
sind mit vollständigem Lösungsweg angegeben.
Der Leser, die Leserin möge sich zunächst selbst daran versuchen und
danach mit der Lösung des Buches vergleichen.
Das Ende einer vollständigen Lösung ist mit einem
rechtsbündigen $-Zeichen gekennzeichnet.
1.2 Fachbegriffe
Fachbegriffe werden bei ihrem ersten Erscheinen im Text
kursiv gedruckt.
Nicht erklärt werden diejenigen Begriffe,
die in diesem Buch nicht verwendet, wohl aber erwähnt werden.
Diese Begriffe dienen der Orientierung in der weiterführenden Literatur.
Die Kenntnis dieser Begriffe ist nicht erforderlich.
Unbedingt erforderlich für das Verstehen des Textes ist es,
die verwendeten Fachbegriffe zu beherrschen. Daher wird empfohlen,
die nachfolgend erklärten Begriffe gründlich zu lernen.
Die hier angegebenen Begriffsbestimmungen entsprechen nicht exakt den
mathematischen Definitionen, reichen aber für das Verständnis der
meisten Anwendungen aus:
Lineare Gleichung:
Gleichung, in der nur die Operationen + ; - ; * vorkommen.
Variable:
veränderliche Größe.
Konstante:
unveränderliche Größe.
Koeffizient:
Konstanter Faktor vor einer Variablen oder Unbekannten.
Faktor:
Glied eines Produktes (*).
Summand:
Glied einer Summe (+).
Absolutglied:
Konstanter Summand (rechts vom Gleichheitszeichen).
Quotient:
Bruch.
Index, Pl.: Indizes:
Zusatz zu einem Formelzeichen zur Unterscheidung mehrerer gleichartiger Größen. Üblicherweise unten rechts an das Formelzeichen geschrieben.
Argument:
Variable, die innerhalb vorgegebener Grenzen frei wählbar ist.
Funktion:
Beschreibung einer Abhängigkeit.
Funktionswert:
Variable, die vom Argument abhängt.
Zeile:
Waagerecht nebeneinander stehende Abschnitte einer Gleichung.
Spalte:
Senkrecht untereinander stehende, gleichartige Abschnitte mehrerer Gleichungen.
Einheit:
Zusatz zu einem Zahlenwert zur Bezeichnung des verwendeten Maßsystems.
1.3 Verwendete Bezeichnungen
1.3.1 Verwendete Formelzeichen
x gesuchte Größe, Unbekannte
a Koeffizient der Unbekannten x
b Absolutglied
i Index, die Zeilennummer angebend
j Index, die Spaltennummer angebend
t Index der Pivot-Zeile
p Index der Pivot-Spalte
n Anzahl der Unbekannten
m Anzahl der Gleichungen
q Quotient
d Diagonalprodukt, Determinante
1.3.2 Verwendete Einheiten
In den technischen Beispielen werden die Einheiten des
internationalen SI-Einheitensystems verwendet.
In allen übrigen Aufgabenstellungen werden die Einheiten
zur Kennzeichnung des fiktiven Charakters der Aufgaben frei erfunden oder ausgelassen.
Hierdurch wird zugleich verdeutlicht, dass das verwendete Maß- und
Einheitensystem ohne Bedeutung für das Resultat einer Problemlösung ist.
1.3.3 Römische Zahlen
Römische Zahlen geben die Nummer einer Gleichung an.
1.3.4 Schreibweisen
Spezielle Schreibweisen werden nicht verwendet.
Hervorhebungen erfolgen durch Fettdruck sowie Bindestrich-Schreibweise.
Dabei bedarf das zweite Teilwort des in Bindestrich-Schreibweise geschriebenen
Wortes einer besonderen Beachtung (z.B.: Pivot-Zeile – hier liegt die
Betonung auf Zeile).
Inhalt
