Eine Betrachtung der Schulnoten

Vgl.: Statistik und Wahrscheinlichkeit – leicht gemacht

Da sich jede Problemlösung auf eine bestimmte Anzahl Ja-Nein-Entscheidungen zurückführen lässt, kann eine Prüfung bzgl. der Kenntnisse und Fähigkeiten in einem bestimmten Themenkreis, auf eben hinreichend viele solcher Entscheidungen durchgeführt werden. Im Falle fehlender Kenntnisse ergäben sich dann im Mittel zur Hälfte richtige sowie zur Hälfte falsche Entscheidungen. Im Einzelfall sind aber duchaus mehr oder weniger (zufällig) richtige Entscheidungen möglich. Wird nun die Anzahl richtiger Entscheidungen in eine Benotung umgerechnet (eine Kritik an der gängigen Leistung-In-Noten-Umrechnung findet sich --demnächst-- hier), so verteilen sich die Noten in unterschiedlichen Häufigkeiten h_i. Der zugehörige Notengraf (Fachbegriff: 'Dichte') für die Notenmenge {1; 2; 3; 4; 5; 6} sei nebenstehend angegeben.

Dabei sind die Eigenschaften der Noten-'Verteilung' im Wesentlichen beschrieben über die Begriffe Mittelwert μ und Standardabweichung σ.

Der Mittelwert μ fasst alle vergebenen Noten zu einer Gesamtnote zusammen, die umgangssprachlich oftmals als 'Durchschnitt' bezeichnet wird.

Die Standardabweichung σ ist ein Maß zur Angabe der 'Breite' eines Bereiches, in dem sich 68% aller Daten (hier: aller Noten) befinden. Die Standardabweichung gibt indirekt die 'Qualität' einer Mittelwertbildung an und darf daher in keiner Mittelwertangabe fehlen.

Für die Schulnotensysteme 'klassisch' sowie 'NGO-Punkte' ergeben sich im Falle einer zufälligen Notendichte:

Gute Noten

Treten nun die 'guten' Noten häufiger auf, als nach dieser Notenverteilung zu erwarten wäre (der Mittelwert ist kleiner als erwartet), so können hierfür als mögliche Erklärungen angesehen werden:

• Die Leistungen der Probanden sind nicht zufällig, also auf Lerneffekte zurück zu führen
• Die Fragestellungen sind zu einfach gewählt, so dass auch ohne Fachkenntnisse richtige Antworten gegeben werden können

Die Beurteilung, welche dieser Erklärungsmöglichkeiten annehmbar ist, kann mittels des Vergleiches der Aufgabenstellungen mit dem Anforderungsprofil (also in Teilen auch subjektiv) erfolgen, ist jedenfalls nicht mit statistischen Methoden durchführbar.

Schlechte Noten

Entsprechend gilt: Treten die 'schlechten' Noten häufiger auf als nach dieser Notenverteilung zu erwarten wäre (der Mittelwert ist größer als erwartet), so können hierfür als mögliche Erklärungen angesehen werden:

• Die Leistungen der Probanden sind nicht zufällig, also auf Nicht-Lerneffekte zurück zu führen
• Die Fragestellungen sind zu schwierig gewählt, so dass auch mit Fachkenntnissen nicht immer richtige Antworten gegeben werden können

Die Beurteilung, welche dieser Erklärungsmöglichkeiten annehmbar ist, kann mittels des Vergleiches der Aufgabenstellungen mit dem Anforderungsprofil (also in Teilen auch subjektiv) erfolgen, ist jedenfalls nicht mit statistischen Methoden durchführbar.

Werden Aufgaben gestellt, die (in der verfügbaren Zeit) nicht lösbar sind, so verschieben sich die Noten in Richtung 'schlecht'. Zur Unterdrückung eines so verschlechterten Mittelwertes μ werden oftmals ungelöste Aufgaben positiv bewertet und so das Auftreten besonders schlechter Noten verhindert. Damit ergibt sich dann wieder ein Mittelwert, der im erwarteten Bereich liegt. Hierbei tritt allerdings die mittlere Abweichung der Noten vom Mittelwert, die Standardabweichung, verkleinert auf (für die Notenmenge {1; 2; 3; 4; 5; 6} wird σ<1.118). In der anschaulichen Darstellung ergibt sich ein engerer Graf (Abb. rechts).

Diese künstliche 'Verbesserung' der Noten wird nur auf einige Klausurteilnehmer angewandt und somit auch eine Ungleichbehandlung der Teilnehmer vorgenommen. Es ergibt sich ein Selektionsdruck zur Anpassung an den Lehrer; die Lehrerin über die Vergabe von Sympathiepunkten. Tritt eine solchermaßen manipulierte Notenverteilung mehrfach auf, ist von einem sehr schlechten Unterricht mit einer zusätzlichen Ungleichbehandlung der Schülerinnen und Schüer auszugehen!

Nicht zufällige Noten

Ein kaum auftretender Fall an Notenmanipulation ist das 'Erwürfeln' der Noten. Hier wird der Graf künstlich verbreitert, die Standardabweichung σ wird größer.

Im Normalfall zeigt ein verbreiterter Notengraf das Auftreten (zweier) divergierender Schüler- oder Studenten-Gruppen. Hierfür sind zwei Ursachen denkbar:

• Eine Teilgruppe wird vom Lehrer erreicht und eine zweite Teilgruppe entzieht sich dem Unterricht. (Diese Situation tritt häufig in Schulen mit einem hohen Anteil Einwandererkindern auf und ist auf eine -- zumeist -- mangelhafte Sprachunterweisung in früheren Jahren zurück zu führen.)
• Die schlechtere Teilgruppe ist die 'Lehrergruppe' während die 'bessere' Gruppe ihre Fähigkeiten von außen mitbringt.

Vergleich der klassischen mit der NGO-Benotung

Die Einführung der NGO-Noten hatte zum Ziel, eine feinere Notenabstufung zu schaffen. Dabei wurden die 16 Stufen {0; 1; ...; 14; 15} -- zu Beginn des 16Bit-Computerzeitalters -- zwar nicht willkürlich, aber auch nicht besonders sinnvoll gewählt. Letzlich ist jede Notenskala willkürlich, sie sollte aber bestimmte Voraussetzungen erfüllen.

Zum Einen muss sie eine Unterscheidung von 'ungenügenden' bis zu 'mehr als nur ausreichenden' Leistungen ermöglichen.

Zum Anderen sind aber auch statistische Gesichtspunkte zu berücksichtigen. Eine große Anzahl an Notenklassen erschwert eine statistische Auswertung der Daten. Der Grund hierfür liegt darin, dass für jede Notenklasse eine ausreichende Anzahl an Daten vorliegen muss, bevor die Statistik hinreichend signifikant ist. Ohne auf die mathematischen Details dieser Aussage einzugehen, sei dieses hier kurz erläutert:

Als allgemeine Regel für Hypothesentests gilt: Die Anzahl der Daten in einer (Noten-) Klasse muss mindestens 5 sein. Der Beispielgraf zeigt die Notendichte einer zufälligen Verteilung für 100 Schülerinnen und Schüler. Hier wird etwa für die NGO-Punkte '3' oder '12' sichtbar, dass die erwartete Häufigkeit nur noch 4 ist. Für die Punkte 0...2 bzw. 13...15 ergeben sich noch erheblich kleinere Erwartungshäufigkeiten. Eine statistische Auswertung ist für diese Notenskala also erst nach deutlich mehr als 100 Messungen (für Kurse mit 25 Teilnehmern nach deutlich mehr als 4 Klausuren) möglich. D.h.: Nachweisbare Effekte zeigen sich erst, wenn es bereits zu spät ist!

Die klassische Notenskala {1; 2; ..; 6} weist zwar auch Mängel auf, so ist etwa der Skalenbeginn nicht '0', sie erlaubt aber schon -- im Allgemeinen nach etwa 3 Klausuren -- eine frühe statistische Auswertung. (Zur Frage der Leistung-In-Noten-Umrechnung findet sich hier --demnächst-- eine gesonderte Betrachtung).

Zusammenfassung

Eine statistische Auswertung der Notendichte in Klausuren lässt eine Beurteilung der Unterrichtsqualität zu und sollte daher stets durchgeführt werden! Die Mindestanforderungen an eine jede Notenvergabe sollte daher sein, stets auch den Mittelwert μ und die Standardabweichung σ anzugeben.
Eine bessere Auswertung der Daten ergibt sich aus der Verwendung des 'Notenspiegels' (der Notendichte):

Verlangen Sie von Ihrem Lehrer; Ihrer Lehrerin stets die Angabe der Notendichte.

Für den 'Hausgebrauch' seien hier noch einmal die Beurteilungskriterien des Mittelwertes μ und der Standardabweichung σ zusammen gefasst:

Klassische Noten {1; 2; ...; 6}

'NGO' Noten {0; 1; 2; ...; 15}

Die Notendichten einiger Kurse – mit ausführlichen Analysen – finden Sie nach einem Einloggen auf der Kunden-Seite.

edited 2005-11-28