Die Techniken des Gleichunglösens

Ein Lehr- und Nachschlagewerk
Band 1

6.2.3 Quadratische Polynome

[...]

6.2.3.1 Die pq-Formel

Wie bereits oben erwähnt, wird die allgemeine Lösung eines quadratischen Polynoms auch als pq-Formel bezeichnet. In diese Formel müssen nur die Koeffizienten des Polynoms eingesetzt und der Ausdruck berechnet werden. Ein solches Vorgehen erspart zwar keinen Aufwand beim Lösen des Polynoms und ist auch nicht übersichtlicher, wird aber trotzdem oftmals im schulischen Bereich propagiert...

Die Fähigkeit zur Durchführung quadratischer Ergänzungen wird in der Funktionentheorie benötigt und erfordert hinreichende Übung. Daher wird hier ausdrücklich das vollständige Verfahren der quadratischen Ergänzung – als Lösungsverfahren für quadratische Polynome – empfohlen!

Dieser Abschnitt wird ausschließlich aus Gründen der Vollständigkeit eingefügt und kann übersprungen werden.

Es sei also wieder ein quadratisches Polynom gegeben und bezüglich x∈ℝ zu lösen. Die Gleichung wird wieder normiert (durch den Koeffizienten des quadratischen Gliedes dividiert)

Nun erfolgt eine Umbenennung der Koeffizienten:

Es seien:   

so dass das Polynom scheinbar einfacher wird

Aus der allgemeinen Lösung (s.o.) der Gleichung wird nun, in Folge der Umbenennung

Diese Lösung wird dann häufig noch neu sortiert angegeben:

In diese allgemeine Lösung des normierten quadratischen Polynoms, müssen nur die numerischen Daten eingesetzt und der Ausdruck berechnet werden.

6.2.3.B Beispiel zum Lösen eines quadratischen Polynoms

Es sei das Polynom

bezüglich x∈ℝ zu lösen.

[...]

Entsprechend ergibt sich mit der pq-Formel zunächst die Notwendigkeit des Normierens

und der Berechnung von Zwischenergebnissen

Nun werden die Koeffizienten des normierten Polynoms erkannt und die Bezeichnungen festgelegt:

Es seien:    

Die numerischen Koeffizienten werden in die allgemeine Lösung des quadratischen Polynoms eingesetzt (und jeder eingesetzte Ausdruck in Klammern gesetzt)

und die Lösung errechnet:

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created 2007-10-23