Die Techniken des Gleichunglösens

Ein Lehr- und Nachschlagewerk
Band 1

8 Exponentialgleichungen

Steht die gesuchte Größe einer Gleichung im Exponenten einer Potenz, so heißt die Gleichung Exponentialgleichung.

Eine Gegenoperation zur Potenz, die Wurzel, zur Entfernung des Exponenten, wurde bereits in den vorigen Kapiteln (vgl. Seite 42ff) betrachtet. In einer Exponentialgleichung muss jedoch die Basis einer Potenz entfernt werden, so dass der Exponent erhalten wird. Daher wird eine zweite Gegenoperation zur Potenz, der Logarithmus, definiert.

Für eine Potenz a=b^c heißt die Gegenoperation zur Entfernung der Basis b Logarithmus zur Basis b: log_b()

Zum Vergleich seien hier zunächst zwei einfache Potenzumstellungen dargestellt:

Es sei a=b^c nach der Basis b umzustellen. Die c-te Wurzel wird als Gegenoperation angewandt (und erscheint dabei auf der anderen Seite der Gleichung)

Sei a=b^c dagegen nach dem Exponenten c umzustellen, wird – mit der neuen Operation Logarithmus zur Basis b – die Basis entfernt

Besonders häufig treten Potenzen mit speziellen Basen auf:

Auf Grund der Verwendung des Zehner-Zahlensystems, sind Potenzen mit der Basis 10 oftmals nach dem Exponenten umzustellen. Deshalb wird eine Kurzschreibweise für der Logarithmus zur Basis 10, den dekadischen Logarithmus, eingeführt:

•     Dekadischer Logarithmus

In der Informatik wird dagegen häufig der Logarithmus zur Basis 2, der Logarithmus Dualis, benötigt, so dass auch hier eine Kurzschreibweise eingeführt wird:

•     Logarithmus Dualis

In der Funktionentheorie zeigt sich schließlich, dass nur für Potenzen mit Basen e sinnvolle Rechenregeln angebbar sind. Dabei wird mit e eine reelle, nicht rationale Zahl bezeichnet, die sich unter Anderem aus der unendlichen Summe

zu ungefähr

• e ≅ 2,71828

ergibt. Daraus ergibt sich dann die Notwendigkeit, in den Umstellungen der Potenzen, deren Basis e ist, den Logarithmus zur Basis e, den Logarithmus Naturalis, anzuwenden. Dieser Logarithmus wird kurz

•     Logarithmus Naturalis

geschrieben. In Fachpublikationen wird aber auch die allgemeine Schreibweise log() in der Bedeutung ln() verwendet.

Für beliebige Basen b ergibt sich nun vordergründig das Problem, dass die zugehörigen Logarithmen mit beliebigen Basen b, auf Rechnern nicht zur Verfügung stehen. Da aber nur Potenzen zur Basis e sinnvoll sind, kann auf alle Logarithmen, mit, von e verschiedenen Basen, verzichtet werden. Es muss lediglich eine von e verschiedene Basis einer Potenz, durch e ersetzt werden.

Hierfür existiert eine einfache Basisumrechnung

die unmittelbar einsichtig ist. Ein Produkt im Exponenten einer Potenz bedeutet eine potenzierte Potenz (vgl. Seite 52)

und da der Logarithmus Naturalis die Gegenoperation zum Potenzieren einer Basis e ist, folgt direkt die Wahrheit der obigen Aussage:

Entsprechend lassen sich, in Gleichungen, in denen bereits beliebige Logarithmen enthalten sind, die Logarithmen durch natürliche Logarithmen ersetzen:

Bezüglich des Lösens beliebiger Exponentialgleichungen lässt sich damit eine einfache Regel angeben:

• In Exponentialgleichungen sind zunächst alle Potenzen über Potenzen mit der Basis e darzustellen.

Beispiel: Es sei die Gleichung

bezüglich x∈ℝ zu lösen. Da die Gleichung, die gesuchte Größe im Exponenten enthält, also eine Exponentialgleichung ist, wird zunächst die beliebige Basis (3) durch die Basis e ersetzt. Die Verwendung eines bekannten Zusammenhanges (hier: der Basisumrechnung) wird dabei über das Schlüsselwort mit ausgedrückt:

mit    

ergibt sich

Die Gleichung ist trivial, sie wird elementar gelöst, also zunächst durch 2 dividiert

der (natürliche) Logarithmus angewandt

und schließlich dividiert

Eine numerische Berechnung – unter Berücksichtigung der unsichtbaren Klammer um den Nenner des Bruches – ergibt dann

Ist das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich Null, so ist die Frage nach dem Exponenten einer Potenz gestellt, die kleiner oder gleich Null ist. Eine solche Potenz ist aber nicht reell angebbar. Daher ist in diesem Fall die Lösung des Logarithmus leer.

Beispiel: Es sei

bezüglich x∈ℝ zu lösen. Die Anwendung des natürlichen Logarithmus liefert (mit einer bereits hier erkennbaren Lösung)

so dass nach einer Division durch (3) die Lösung leer ist

[...]

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created 2007-10-23