Die Techniken des Gleichunglösens

Ein Lehr- und Nachschlagewerk
Band 1

1 Elementare Regeln

Mathematische Aussagen werden zumeist als Gleichungen formuliert. Dabei symbolisiert eine Gleichung eine Waage im Gleichgewicht, so dass mittels des Hinzufügens oder Entfernens beliebiger Objekte auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens (also des symbolischen Waagebalkens) die jeweilige Aussage in ihrer Erscheinungsform verändert werden kann – ohne jedoch die Bedeutung der Aussage (das Gleichgewicht der Waage) zu verändern.

Die mathematischen Aussagen beziehen sich auf (messbare) Eigenschaften (beliebiger Objekte), die Größen, die mit einander über Operationen verknüpft werden.

Größen können bekannt oder unbekannt sein. Eine Beschreibung einer Verknüpfung von Größen kann mittels einer symbolischen Namensgebung – auch ohne die Kenntnis einer, die jeweilige Eigenschaft angebenden, Zahl – erfolgen. Als symbolische Namen sind beliebige Buchstaben geeignet, häufig werden jedoch bestimmte Buchstaben für bestimmte Bedeutungen reserviert. Hierdurch wird die Übersichtlichkeit vergrößert, so dass eine Befolgung üblicher Benennungsregeln empfehlenswert ist.

Oftmals sind in einer Betrachtung unbekannte Größen zu ermitteln. Die Ermittlung dieser gesuchten Größen ist das Ziel des Gleichunglösens...

1.1 Hierarchische Strukturen

Wird ein beliebiger Rechenausdruck, etwa

in der Reihenfolge des Aufschreibens berechnet, so zeigt sich in der Umkehrung des Ausdruckes, also

ein anderes Rechenergebnis. Die Folgerung ist daher, dass die Reihenfolge des Ausrechnens von erheblicher Bedeutung für das Rechenergebnis ist!

Es wird daher die Reihenfolge, in der Ausdrücke zu berechnen sind, festgelegt, dazu wird eine Rangordnung der Verknüpfungen zwischen Ausdrücken, eine Hierarchie der Operationen aufgestellt:

Nun könnte aber (im zweiten Beispiel) eine andere Reihenfolge, als die durch die Hierarchie festgelegte, erforderlich sein. Daher wird ein zusätzliches Symbol, die Klammer, eingeführt, das in der Operationshierarchie zu oberst stehend, die Reihenfolge zugunsten eben dieses Ausdruckes verändert:

Damit ergibt sich dann die Möglichkeit, den Ausdruck b des Beispiels, trotz der Festlegung der Hierarchie des Ausrechnens, in der gewünschten Reihenfolge zu berechnen:

Nun existieren gesuchte Größen im Allgemeinen nicht nur isoliert auf einer Seite einer Gleichung, vielmehr treten solche Größen an beliebiger Stelle in einer Gleichung auf. Zur Beschreibung dieser Situationen werden zunächst Begriffe gebildet.

Steht in einer Gleichung eine gesuchte Größe isoliert auf einer Seite, so heißt diese Gleichung explizit (bezüglich dieser Größe), andernfalls heißt die Gleichung implizit.

Die Gleichung

heißt also bezüglich der Größe x explizit, bezüglich der Größe y implizit. Die, in der Gleichung enthaltenen, nicht gesuchten Ausdrücke, heißen Koeffizienten.

Um eine gesuchte Größe zu ermitteln, muss die entsprechende Gleichung so umgeformt werden, dass sie in ihrer Bedeutung nicht verändert wird, die gesuchte Größe aber auf einer Seite der Gleichung isoliert wird. Das zugehörige gesamte Vorgehen heißt Lösen der Gleichung, die einzelnen Schritte dieses Vorgehens werden auch als Umstellen bezeichnet.

Zum Zwecke des Lösens einer Gleichung (bezüglich einer gesuchten Größe) müssen die nicht gesuchten Ausdrücke entfernt werden, so dass nur die gesuchte Größe – auf einer Seite der Gleichung – verbleibt.

Die Entfernung nicht gesuchter Ausdrücke wird mittels der Definition von Gegenoperationen erreicht: Zu jeder Operation wird eine Gegenoperation definiert, so dass eine Operation verknüpft mit ihrer Gegenoperation eine Aufhebung der Operation bewirkt.

So ist etwa die Operation Minus (-) die Gegenoperation zur Operation Plus (+). Ein Ausdruck

ist also gleichwertig mit dem Ausdruck

Operationen und ihre zugehörigen Gegenoperationen sind stets gleichrangig, in ihrer Reihenfolge also beliebig vertauschbar, sie stehen in der Hierarchie des Ausrechnens auf gleicher Stufe:

Wird also eine Gleichung gelöst, so werden alle nicht gesuchten Größen, mittels der Anwendung der jeweiligen Gegenoperationen entfernt. Als Nebeneffekt tritt dabei die Gegenoperation auf der jeweils anderen Seite der Gleichung auf. Es sei etwa die Gleichung

bezüglich der gesuchten Größe x zu lösen. Da die Gegenoperation zur Operation Plus (+) die Operation Minus (-) ist, wird die Operation Minus auf die Gleichung angewandt. Sinnvollerweise wird dieses Vorgehen – abgetrennt mittels eines Kommentarstriches – zunächst hinter die Gleichung geschrieben:

Wird nun eine Gleichung betrachtet, in der mehrere Operationen unterschiedlicher Hierarchiestufe vorkommen, muss auch beim Lösen dieser Gleichung die Berechnungs-Reihenfolge der Ausdrücke beachtet werden. Es sei etwa die Gleichung

gegeben. Wäre die Größe x bereits bekannt und die linke Seite der Gleichung auszurechnen, so ergäbe sich aus den Hierarchieregeln des Ausrechnens die Reihenfolge der Berechnung

1. Stufe: Produktberechnung

2. Stufe: Summenberechnung.

Der Aufbau der Gleichung bezüglich der gesuchten Größe x kann verstanden werden, als ein Paket, das ein Paket enthält (das ein Paket enthält, ...). Zur Erreichung des innersten Paketes muss dann zunächst das äußerste Paket entpackt werden.

Wird eine Gleichung gelöst, muss also mit der geringstwertigen Operation begonnen werden.

Allgemein kann gefolgert werden: Die Reihenfolge des Umstellens ist der Reihenfolge des Ausrechnens entgegengesetzt. Die Tabelle der Hierarchie erhält damit die Form

Es lässt sich somit zusammenfassen:

• Gleichungen werden gelöst, indem die nicht gesuchten Ausdrücke, mittels der Anwendung der jeweiligen Gegenoperation, beginnend mit der geringstwertigen Operation, entfernt werden.

Da es nicht nur die bisher betrachteten Operationen gibt, sei nunmehr die vollständige Hierarchietabelle angegeben (die Nummerierung der Hierarchiestufen erfolgt dabei systematisch, ist aber für das Verständnis nicht von Bedeutung). Es wird dringend empfohlen, die Tabelle schon an dieser Stelle vollständig zu lernen!

Hier sind zwei Anmerkungen notwendig:

Für alle Operationen wird die Tätigkeit ihrer Anwendung mit 'Anwendung der...' bezeichnet, zusätzlich existieren aber für die geringerrangigen Operationen noch spezielle Begrifflichkeiten ihrer Anwendung. So heißt etwa die Berechnung eines Produktes 'multiplizieren'. Es wird begrifflich zwischen der Struktur eines Ausdrucks und seiner Anwendung unterschieden. Im Einzelnen heißen

Anwendung einer Summe: Addieren

Anwendung einer Differenz: Subtrahieren

Anwendung eines Produktes: Multiplizieren

Anwendung eines Quotienten: Dividieren

Anwendung einer Potenz: Potenzieren

Anwendung einer Wurzel: Radizieren

Die zweite Anmerkung betrifft die Produktbildung. Das allgemeine Operationssymbol der Produktbildung ist das leere Zeichen. Zwischen Zahlen muss jedoch ein Operationszeichen gesetzt werden, dieses Zeichen ist ein vertikal zentrierter Punkt '⋅'.

Für gleichrangige Operationen kann die Reihenfolge der Berechnung beliebig gewählt werden, diese Gesetzmäßigkeit heißt Kommutativgesetz. Zusätzlich dürfen um gleichrangige Operationen beliebig Klammern gesetzt oder fortgelassen werden (Assoziativgesetz). Das Setzen überflüssiger Klammern sollte aber stets vermieden werden, es verringert die Übersichtlichkeit!

Wird nun eine Gleichung gemäß den gerade betrachteten Hierarchie-Regeln gelöst, ergibt sich die Notwendigkeit einer weiteren Regel. Dieses sei an einem Beispiel erläutert. Es sei also die Gleichung

bezüglich x zu lösen. Den Hierarchieregeln folgend, wird zunächst addiert, dann dividiert:

Wird nun, den Schreibweisen des Grundschulrechnens folgend, die Division mittels des Doppelpunktes geschrieben

wird sofort die Veränderung der Berechnungsreihenfolge sichtbar:

Die Summe ist jedoch zuerst zu berechnen, denn die Division wurde zur bereits vorhandenen Summe hinzu gefügt. Eine Reihenfolgenveränderung muss vermieden werden, daher ergibt sich die zusätzliche Regel:

• Wird eine höherrangige Operation auf eine geringerrangige Operation angewandt, so ist die geringerrangige Operation in Klammern zu setzen.

Im Beispiel ergibt sich daher:

Nun tritt diese Situation, der Anwendung höherrangiger Operation auf geringerrangige Operationen, häufig auf. Daher werden für die häufigst benötigten Operationen besondere Schreibweisen, die die Übersichtlichkeit erhöhen und den Schreibaufwand vermindern, eingeführt. Die Division wird etwa als Quotient (Bruch) dargestellt, so dass die Länge des Bruchstriches den Ort von Klammerpaaren angibt.

Es gilt: Bruchstriche sind stets waagerecht (und nicht, wie häufig in Handschriften gesehen, als Schrägstrich /) zu schreiben. Um den Zähler und den Nenner von Brüchen stehen stets Klammern, die aber häufig nicht geschrieben werden, also unsichtbar sind. Diese Klammern werden im Folgenden – in Ermangelung einer offiziellen Namensgebung – als unsichtbare Klammern bezeichnet.

Für das Beispiel von oben ergibt sich damit die korrekte Schreibweise:

in der Bedeutung

Anmerkung: Wird zur Berechnung beliebiger Ausdrücke ein elektronischer Rechner eingesetzt, so sind nach Abschluss des Gleichunglösens, vor der Eingabe der Gleichung in den Rechner, die unsichtbaren Klammern zu suchen und am Besten sichtbar hin zu schreiben. Da die heutigen elektronischen Rechner den geschriebenen Text nicht selbst ablesen, müssen die unsichtbaren Klammern ebenfalls eingegeben werden!

Nachfolgend sei nun die Liste aller unsichtbaren Klammern angegeben:

• Um den Zähler und den Nenner von Brüchen stehen Klammern
• Um den Radikanten von Wurzeln stehen Klammern
• Um den Exponenten von Potenzen stehen Klammern

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created 2007-10-23