Die Techniken des Gleichunglösens

Ein Lehr- und Nachschlagewerk
Band 2: Lineare Gleichungssysteme

2 Aufgabenstellung

2.1 Gleichungssysteme

Oftmals treten in mathematisch beschreibbaren Fragestellungen mehrere gesuchte Größen auf. –Und da für jede gesuchte Größe eine Gleichung benötigt wird, ergeben sich in der Problembeschreibung mehrere zusammengehörige Gleichungen. Solche Mengen zusammengehöriger Gleichungen heißen Gleichungssysteme.

Anmerkung: In Gleichungssystemen ist es sinnvoll, jede Gleichung mit einem Namen zu versehen, so dass sie leicht identifiziert werden kann. Die üblichen Benennungen verwenden römische Zahlen, die vor die jeweilige Gleichung geschrieben werden.

Beispiel: Ein Gleichungssystem, mit den gesuchten Größen x₁;x₂ sei über zwei Gleichungen gegeben.

Eine übliche und sinnvolle Benennung wäre dann:

Eine gelegentlich zu sehende, aber weniger übersichtliche Benennung wäre hingegen die Benennung mittels arabischer Zahlen in Klammern hinter der jeweiligen Gleichung:

2.2 Linearität

Werden auf eine gesuchte Größe nur die Operationen +; -; * angewandt, so heißt die beschreibende Gleichung linear. In einer solchen Gleichung steht also eine Summe mehrerer gesuchter Größen, die mit bekannten Faktoren, den Koeffizienten, multipliziert werden. Dabei dürfen die Koeffizienten von beliebiger Struktur sein, also durchaus über Brüche, Wurzeln etc. gebildet werden.

Beispiel: Eine Gleichung, mit den gesuchten Größen x₁;x₂ enthalte Koeffizienten, die über Brüche und Wurzeln gegeben ist:

   Diese Gleichung ist linear

Eine Gleichung, mit den gesuchten Größen enthalte die gesuchten Größen, die über Brüche oder Wurzeln beschrieben sind:

   Diese Gleichung ist nicht linear

Ein System von linearen Gleichungen, ein lineares Gleichungssystem, stellt somit einen Spezialfall dar. Dieser Spezialfall ist jedoch häufig und lässt sich besonders einfach und auf stets gleiche Weise hantieren.

Die Beschreibung eines solchen, stets gleichen Vorgehens, eine vollständige Handlungsanweisung, heißt Algorithmus. In diesem Band wird der Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme vollständig und ausführlich beschrieben. Dieser Algorithmus geht auf Carl Friedrich Gauss zurück und wird daher als Gauss-Algorithmus bezeichnet.

Zusätzlich werden einige ausgewählte Anwendungen besprochen.

2.3 Durchgehend behandelte Beispiele

[...]

 Inhalt 

created 2007-10-24